宝宝持续发烧37.8°C，家长可以采取以下措施：
1.观察宝宝的精神状态：如果宝宝精神状态良好，能吃能玩，家长可以先在家观察，注意给宝宝多喝水，保持室内空气流通。
2.松解衣物：不要给宝宝穿太多衣服，以免影响散热。
3.温水擦拭：用温水擦拭宝宝的手心、脚心、腋窝、腹股沟等部位，帮助宝宝散热。
4.贴退热贴：如果宝宝不愿意用温水擦拭，可以给宝宝贴退热贴。
5.测量体温：每30分钟到1小时给宝宝测量一次体温，密切关注体温变化。
6.就医：如果宝宝体温持续升高，或者出现精神萎靡、呼吸急促、咳嗽等症状，应及时就医。
需要注意的是，以上措施仅适用于3个月以上的宝宝。3个月以下的宝宝发烧，应及时就医。此外，如果宝宝发烧是由于感冒、肺炎等疾病引起的，在采取以上措施的同时，还需要积极治疗原发病。