眼睛周围出现红点可能由多种原因导致，如紫癜、血管瘤、过敏等。
一、紫癜：紫癜通常是由于血管内压增高致使微血管破裂，从而引起皮下出血。一些因素如剧烈咳嗽、呕吐、便秘等容易诱发紫癜。其主要表现为针尖大小、群聚或散在的瘀点或瘀斑，所以眼睛周围出现红点可能是紫癜造成的。
二、血管瘤：血管瘤属于临床上常见的血管肿瘤性疾病，大多与胚胎发育时期血管异常增生有关。其主要表现包括皮肤颜色及形态改变，还有皮肤隆起等情况，这有可能使眼睛周围出现红点。
三、过敏：过敏指的是人体接触特定物质后产生的过度免疫反应。当人体皮肤接触过敏原时，可能引发过敏反应，一般会表现为皮肤红肿、丘疹、瘙痒等症状，进而也可能导致眼睛周围出现红点。
总之，当发现眼睛周围出现红点时，要考虑可能是上述这些原因引起的，需结合具体情况进行分析和判断，必要时应及时就医检查和诊断。