孩子眼睛周围出现小红点，可能是以下原因引起：
1.血管因素：
血管瘤：一种先天性良性肿瘤或血管畸形，常在出生时或出生后不久出现，好发于颜面部及口腔黏膜。如果小红点位于眼周，可能是毛细血管瘤或海绵状血管瘤。
血管痣：是婴儿最常见的良性肿瘤，是由胚胎期血管网增生所形成。血管痣可发生于身体的任何部位，其中约有一半的血管痣发生在头、面、颈部。如果小红点位于眼周，通常为橙色或淡红色，边界清楚，不突出于皮肤表面，压之可褪色。
血管破裂出血：孩子剧烈哭闹、咳嗽、呕吐、用力排便等，可能导致眼周小血管破裂出血，从而引起小红点。这种情况通常在数天至数周内自行消退，无需特殊处理。
2.感染因素：
麻疹：是由麻疹病毒引起的急性呼吸道传染病，主要通过飞沫传播。麻疹的皮疹通常先出现于耳后、发际，然后逐渐蔓延至面部、颈部、躯干、四肢，最后到达手掌和足底。如果孩子在出疹前有发热、咳嗽、流涕等症状，且眼周出现小红点，可能是麻疹。
风疹：是由风疹病毒引起的急性传染病，主要通过飞沫传播。风疹的皮疹通常先出现于面部，然后迅速蔓延至颈部、躯干、四肢，最后到达手掌和足底。如果孩子在出疹前有发热、咳嗽、流涕等症状，且眼周出现小红点，可能是风疹。
猩红热：是由乙型溶血性链球菌引起的急性传染病，主要通过飞沫传播。猩红热的皮疹通常先出现于颈部、上胸部，然后迅速蔓延至全身，最后在皮肤皱襞处（如腋窝、肘窝、腹股沟等）出现密集的小红点，压之褪色。如果孩子在出疹前有发热、咽痛、草莓舌等症状，且眼周出现小红点，可能是猩红热。
3.过敏因素：
食物过敏：如果孩子吃了某些食物（如海鲜、鸡蛋、牛奶等）后出现眼周小红点，可能是食物过敏引起的。此外，孩子还可能伴有皮肤瘙痒、腹痛、腹泻等症状。
药物过敏：如果孩子服用了某些药物（如青霉素、磺胺类药物等）后出现眼周小红点，可能是药物过敏引起的。此外，孩子还可能伴有皮肤瘙痒、呼吸困难、休克等症状。
接触性皮炎：如果孩子接触了某些过敏原（如花粉、动物毛发、化妆品等）后出现眼周小红点，可能是接触性皮炎引起的。此外，孩子还可能伴有皮肤瘙痒、红肿等症状。
4.其他因素：
血小板减少性紫癜：是一种自身免疫性疾病，主要表现为皮肤和黏膜出血，可出现针尖大小的出血点或瘀斑。如果孩子除了眼周小红点外，还伴有鼻出血、牙龈出血、月经过多等症状，可能是血小板减少性紫癜。
白血病：是一种造血系统恶性肿瘤，可导致血小板减少，从而引起皮肤和黏膜出血。如果孩子除了眼周小红点外，还伴有面色苍白、乏力、食欲不振、发热等症状，可能是白血病。
系统性红斑狼疮：是一种自身免疫性疾病，可累及全身多个系统和脏器，皮肤和黏膜是最常受累的部位之一。如果孩子除了眼周小红点外，还伴有面部蝶形红斑、发热、关节痛、脱发等症状，可能是系统性红斑狼疮。
总之，如果孩子眼睛周围出现小红点，家长应密切观察孩子的症状变化，如果小红点持续不消退或伴有其他异常症状，应及时带孩子到医院就诊，明确病因，并在医生的指导下进行治疗。