手指甲旁边肿痛有脓包，可能是以下原因引起：
1.感染：甲沟及其附近组织刺伤、擦伤、嵌甲或拔“倒皮刺”后造成感染。甲下脓肿常由甲沟炎蔓延发生或甲下刺伤引起感染或指端挤压伤而致甲下血肿继发感染。
2.糖尿病：糖尿病患者由于血糖水平较高，身体的免疫力和抗感染能力下降，容易导致甲沟及其附近组织感染，从而引起甲沟炎。
3.其他：接触性皮炎、湿疹、外伤等也可能导致甲沟及其附近组织感染，引起甲沟炎。
如果出现手指甲旁边肿痛有脓包的情况，建议及时就医，医生一般会根据具体情况采取以下治疗措施：
1.切开引流：如果脓包较大，医生会在甲沟处做纵行切开，以引出脓液。
2.局部消毒：使用碘伏、酒精等消毒剂对甲沟及其附近组织进行消毒。
3.使用抗生素：如果感染严重，医生会开具抗生素，以消除感染。
4.去除病因：如果是由于嵌甲等原因引起的甲沟炎，需要去除病因，以防止复发。
此外，在治疗期间，应注意保持局部清洁，避免沾水，避免食用辛辣刺激性食物。同时，要注意观察病情变化，如果症状加重或出现发热等全身症状，应及时就医。