5个月大婴儿发烧37.8°C，可采取以下处理方法：
1.观察：密切观察婴儿的精神状态、吃奶情况、呼吸频率等，了解其整体情况。
2.减少衣物：不要给婴儿穿过多的衣物或盖过厚的被子，以免影响散热。
3.物理降温：用温水擦拭婴儿的手心、脚心、腋窝、腹股沟等部位，或使用退热贴。
4.补充水分：适当给婴儿喂水，以补充因发烧而流失的水分。
5.就医：如果婴儿的体温持续升高或出现其他异常症状，如呼吸急促、咳嗽、哭闹不止等，应及时就医，以便明确病因并进行相应的治疗。
需要注意的是，不建议家长自行给婴儿使用退烧药，尤其是在没有医生指导的情况下。因为婴儿的身体器官发育尚未完全，退烧药的使用剂量需要严格控制，否则可能会对婴儿的健康造成不良影响。此外，如果婴儿有其他基础疾病或正在服用其他药物，也需要在医生的指导下进行治疗。