眼睛周围被打出淤血肿后，应采取以下措施：
1.立即冷敷：在受伤后的24-48小时内，用冰袋或冷毛巾敷在眼睛上，每次15-20分钟，每天数次。冷敷可以收缩血管，减少出血和肿胀。
2.休息：避免用眼，尤其是避免长时间使用电子设备或阅读。让眼睛得到充分的休息。
3.抬高头部：睡觉时，可以将头部垫高，有助于减轻肿胀。
4.观察症状：密切观察眼睛周围的肿胀程度、视力是否受到影响、是否有疼痛加剧、恶心、呕吐等症状。如果出现这些症状，应及时就医。
5.就医治疗：如果肿胀严重、疼痛剧烈或症状持续不减，应及时就医。医生可能会进行进一步的检查，如眼部超声、CT等，以排除眼部损伤的可能。如果只是单纯的皮下淤血，医生可能会给予药物治疗，如活血化瘀的中药、止痛药等。
6.避免揉眼：在肿胀和淤血未消退之前，避免揉眼，以免加重损伤。
7.注意饮食：在受伤后的一段时间内，应避免食用辛辣、刺激性食物，以免加重肿胀。
需要注意的是，对于儿童、老年人或有眼部疾病的人群，眼睛周围被打出淤血肿后应更加重视。如果受伤情况较为严重或有其他疑虑，应及时就医，以便获得更专业的建议和治疗。同时，在日常生活中，应注意安全，避免发生眼部受伤的情况。