儿童眼睛周边有小红点，可能是以下原因引起：
1.血管痣：是一种先天性毛细血管畸形，通常在出生时或出生后不久出现，表现为红色或紫红色的斑块或丘疹，可单发或多发，好发于面部、颈部、头皮等部位。一般不需要治疗，随着年龄的增长，部分会自行消退。如果影响美观或生长迅速，可采用激光、冷冻等方法治疗。
2.紫癜：是一种皮下出血，可由血小板减少、血管壁异常、凝血功能障碍等原因引起。紫癜可表现为针尖至黄豆大小的紫红色瘀点或瘀斑，通常不高出皮肤表面，压之不褪色。除了眼睛周边，还可出现于四肢、臀部等部位。如果是血小板减少性紫癜，可能伴有鼻出血、牙龈出血、月经过多等症状；如果是过敏性紫癜，还可能伴有腹痛、关节痛、血尿等症状。需要及时就医，明确病因，并进行相应的治疗。
3.感染：如麻疹、猩红热、风疹等病毒感染，或麦粒肿、睑缘炎等细菌感染，可导致眼睛周边出现小红点。同时，可能伴有发热、咳嗽、流涕等全身症状，或局部红肿、疼痛等症状。需要根据病因进行抗感染治疗。
4.过敏：如食物过敏、药物过敏、花粉过敏等，可引起过敏反应，导致眼睛周边出现小红点，并伴有瘙痒、肿胀等症状。需要避免接触过敏原，并使用抗组胺药物进行治疗。
5.其他：如系统性红斑狼疮、幼年特发性关节炎等自身免疫性疾病，或白血病、血小板增多症等血液系统疾病，也可导致眼睛周边出现小红点。同时，可能伴有其他系统的症状。需要进一步检查，明确诊断，并进行相应的治疗。
总之，儿童眼睛周边有小红点，需要引起重视，及时就医，明确病因，并进行相应的治疗。同时，要注意保持眼部清洁，避免揉眼，避免感染。