儿童眼睛周围出现小红点，可能是多种原因引起的，需要及时就医，以便明确诊断并采取适当的治疗措施。以下是一些可能的原因：
1.感染：如眼部感染（结膜炎、角膜炎等）、全身性感染（如猩红热、麻疹等），感染可导致眼部血管扩张和通透性增加，从而出现小红点。
2.过敏：儿童可能对某些物质过敏，如花粉、尘螨、食物等，过敏反应可引起眼部瘙痒和红肿，出现小红点。
3.外伤：眼部受到外伤，如碰撞、划伤等，可导致眼部血管破裂，引起小红点。
4.其他：某些全身性疾病，如血小板减少性紫癜、白血病等，也可能导致眼部出现小红点。
5.特发性：有时，儿童眼睛周围的小红点原因不明，可能是特发性的。
对于儿童眼睛周围的小红点，家长应注意以下几点：
1.观察红点的变化：注意观察小红点的数量、大小、颜色是否变化，以及是否伴有其他症状，如眼部疼痛、分泌物增多、视力下降等。
2.保持眼部清洁：使用温水清洗眼部，避免用手揉搓，以免加重症状。
3.避免刺激：避免让孩子接触过敏原，如花粉、宠物等，避免长时间看电视、电脑等。
4.及时就医：如果小红点持续不消失或伴有其他不适症状，应及时带孩子就医，进行详细的眼部检查和相关的实验室检查，以明确病因。
总之，儿童眼睛周围出现小红点，家长应引起重视，及时就医，以便早期诊断和治疗。同时，要注意眼部卫生，避免刺激，避免孩子揉眼，以免加重症状。