儿童眼睛周围出现小红点，可能是以下原因引起：
1.血管因素：
血管瘤（血管瘤）：这是一种先天性良性肿瘤或血管畸形，好发于颜面及四肢皮肤，影响美观，还可发生于口腔和颌面部的黏膜，少数可发生于颌骨内或深部组织。
毛细血管扩张症（telangiectasia）：是指小血管的持久性扩张，扩张的血管多为小静脉或小动脉，在皮肤上出现红丝状、网状或星状损害，压之褪色，单发或多发，好发于面部、颈部和四肢，可见于任何年龄。
2.感染因素：
感染性紫癜（infectivepurpura）：是一种常见的微血管变态反应性出血性疾病，主要表现为皮肤紫癜、腹痛、关节痛和肾损害，但血小板不减少。好发于儿童及青少年，男性多于女性，春秋季发病居多。
感染性红斑（infectiouserythema）：是由细菌、病毒、立克次体、螺旋体、真菌等感染引起的皮肤病，可伴有发热、头痛、关节痛、全身不适等全身症状。
3.其他因素：
过敏性紫癜（allergicpurpura）：属于小血管炎的一种，多发生于儿童及青少年，男性多于女性，春秋季发病居多。临床表现为皮肤紫癜，伴腹痛、关节痛、血尿、蛋白尿等。
血小板减少性紫癜（thrombocytopenicpurpura）：是一种以血小板减少为特征的出血性疾病，主要表现为皮肤及脏器的出血性倾向以及血小板显著减少。
药物性皮炎（drugeruption）：是药物通过口服、注射、吸入、外用等各种途径进入人体后引起的皮肤、黏膜炎症反应，严重者可累及内脏。
如果儿童眼睛周围出现小红点，建议及时就医，明确诊断，以便采取相应的治疗措施。同时，要注意保持皮肤清洁，避免搔抓，避免食用辛辣刺激性食物。