5个月宝宝初次发烧，可能是由感染、疫苗接种、环境温度过高、自身免疫性疾病等原因引起的。可以通过物理降温、药物治疗、及时就医等方式进行处理，建议及时就医，具体分析如下：
1.感染：是导致5个月宝宝发烧最常见的原因，如呼吸道感染、消化道感染等。病毒或细菌感染后，宝宝的免疫系统会被激活，产生炎症反应，从而引起发烧。
2.疫苗接种：宝宝在接种疫苗后，可能会出现发烧的不良反应，这是正常的疫苗反应。
3.环境温度过高：如果宝宝所处的环境温度过高，或穿着过多、包裹过严，也可能会导致宝宝发烧。
4.自身免疫性疾病：某些自身免疫性疾病也可能导致宝宝发烧，如幼年特发性关节炎等。
宝宝在治疗期间需要注意保持充足的水分摄入，可适当食用富含维生素C、E的食物，如橙子、猕猴桃、草莓等，避免食用辛辣、油腻、刺激性的食物，如辣椒、油炸食品、冷饮等。
总之，5个月宝宝初次发烧需要引起重视，家长应该密切观察宝宝的体温和精神状态，如果宝宝体温持续升高或出现其他异常症状，应及时就医，以便明确病因并进行针对性治疗。