5个月宝宝初次发烧37.8°C，可采取以下措施：
1.观察宝宝状态：宝宝发烧时，需要密切观察其状态。如果宝宝精神状态良好，能吃能玩，没有其他异常表现，可以先在家观察，采取物理降温的方法。
2.物理降温：用温水擦拭宝宝的手心、脚心、腋窝、腹股沟等部位，或者给宝宝洗温水澡，注意水温不要太高，以免加重宝宝的不适。
3.保持室内通风：保持室内空气流通，温度适宜，避免给宝宝穿太多衣服，以免影响散热。
4.多喝水：让宝宝多喝水，有助于补充水分，防止脱水。
5.及时就医：如果宝宝发烧持续时间较长，或者出现其他异常表现，如精神萎靡、呼吸急促、咳嗽等，应及时就医，以便明确病因，进行针对性治疗。
需要注意的是，宝宝的体温调节功能尚未发育完善，体温容易受到外界环境的影响。因此，在测量体温时，应选择合适的测量方法，并在安静的状态下测量。同时，如果宝宝的体温超过38.5°C，应及时就医，并在医生的指导下使用退烧药。