两个半月宝宝咳嗽，可能是感冒、呛奶、过敏、呼吸道感染等原因引起的，可以通过以下方式进行处理，建议及时就医。具体分析如下：
1.感冒：如果宝宝咳嗽的同时，还伴有鼻塞、流鼻涕、发热等症状，可能是感冒引起的。可以给宝宝多喝水，保持室内空气湿润，同时注意保暖。如果症状持续不缓解或加重，应及时就医。
2.呛奶：如果宝宝在吃奶时呛咳，也可能会引起咳嗽。此时，应立即停止喂奶，轻轻拍打宝宝的背部，帮助咳出呛入的奶液。
3.过敏：如果宝宝是过敏体质，接触到过敏原后也可能会咳嗽。常见的过敏原包括花粉、尘螨、动物毛发等。应尽量避免宝宝接触过敏原，如果症状严重，应及时就医。
4.呼吸道感染：如果宝宝咳嗽伴有咳痰、呼吸急促等症状，可能是呼吸道感染引起的。应及时就医，在医生的指导下使用抗生素等药物进行治疗。
5.其他：除了以上原因，百日咳、肺炎等疾病也可能会导致宝宝咳嗽。如果宝宝咳嗽持续时间较长或伴有其他异常症状，应及时就医，以便明确病因并进行针对性治疗。
在治疗期间，家长应注意给宝宝多喝水，保持室内空气湿润，避免带宝宝去人多拥挤的场所。同时，可适当给宝宝食用梨、枇杷等润肺止咳的食物，避免食用辛辣、油腻等刺激性食物。