5个月婴儿咳嗽，可采取以下方式处理：
1.保持适宜的环境：房间内要保持一定的温度和湿度，空气要流通，避免烟雾等刺激性物质。
2.补充水分：可以适当增加婴儿的水分摄入，有助于缓解咳嗽。
3.拍背排痰：将婴儿竖着抱起，空心掌轻轻拍打其背部，有助于痰液的排出。
4.调整体位：如果咳嗽严重，可以尝试将婴儿侧卧或俯卧，以减轻咳嗽症状。
5.药物治疗：如果咳嗽较为频繁或严重，影响到婴儿的睡眠和进食，可以在医生的指导下使用止咳祛痰药物，如氨溴索、氨溴特罗等。
6.就医诊治：如果婴儿咳嗽持续时间较长、伴有发热、喘息等症状，或者病情加重，应及时就医，进行进一步的检查和治疗。
需要注意的是，引起婴儿咳嗽的原因有很多，如感染、过敏、异物吸入等。在处理婴儿咳嗽问题时，应密切观察其症状变化，如有必要，及时就医，以便明确病因，采取针对性的治疗措施。同时，在就医过程中，应如实告知医生婴儿的情况，包括咳嗽的时间、频率、伴随症状等，以便医生做出准确的诊断和治疗。