久咳不愈且嗓子痒，可能是以下原因引起的：
1.上气道咳嗽综合征：
鼻部疾病引起分泌物倒流至鼻后和咽喉等部位，直接或间接刺激咳嗽感受器，导致咳嗽。
常见病因包括鼻炎、鼻窦炎、鼻息肉等。
2.咳嗽变异性哮喘：
一种特殊类型的哮喘，以咳嗽为主要表现，无明显喘息、气促等症状。
气道高反应性是其重要的病理生理改变。
3.胃食管反流病：
胃酸和其他胃内容物反流至食管，刺激咳嗽感受器引起咳嗽。
典型症状为烧心、反酸，也可表现为咳嗽、咽部不适等。
4.嗜酸粒细胞性支气管炎：
气道嗜酸粒细胞浸润为特征的一种非哮喘性支气管炎。
主要表现为慢性刺激性咳嗽，干咳或咳少许黏痰。
5.变应性咳嗽：
具有气道高反应性特征，常因接触过敏原、冷空气、刺激性气体或运动而诱发或加重咳嗽。
咳嗽多为刺激性干咳，通常具有季节性或时间节律性。
6.其他原因：
感染后咳嗽：急性呼吸道感染后咳嗽迁延不愈，多为刺激性干咳或咳少量白色黏液痰。
心理性咳嗽：常因心理因素引起，而无器质性病变。
药物相关性咳嗽：某些降压药、血管紧张素转换酶抑制剂等可引起咳嗽。
如果久咳不愈且嗓子痒的症状持续时间较长或伴有其他不适，建议及时就医，进行相关检查，如血常规、胸片、肺功能等，以明确病因，并在医生的指导下进行针对性治疗。同时，应注意避免接触过敏原，保持室内空气流通，避免过度用嗓，多喝水，注意休息。