八个月宝宝半夜发烧38.4°C，可采取以下措施。
1.观察宝宝状态：宝宝发烧时，需要密切观察其状态。如果宝宝精神状态良好，能吃能玩，没有其他异常表现，可以先在家观察，采取物理降温的方法。
2.物理降温：用温水擦拭宝宝的额头、颈部、腋窝、肘窝、腹股沟等部位，或使用退热贴。注意保持宝宝皮肤清洁，避免着凉。
3.补充水分：发烧会导致宝宝体内水分流失，要及时给宝宝补充水分，可以喂适量的温水或母乳。
4.松解衣物：不要给宝宝穿过多的衣物，以免影响散热。
5.及时就医：如果宝宝精神状态差，哭闹不止，或出现高热惊厥、呼吸急促等异常情况，应立即就医。在去医院的途中，可以继续观察宝宝的状态，保持与医院的联系。
需要注意的是，不同宝宝对发烧的反应可能不同，因此在处理宝宝发烧时，需要根据宝宝的具体情况进行判断。如果对宝宝的病情有任何疑虑，应及时咨询医生。同时，在宝宝发烧期间，要注意保持宝宝的饮食清淡，多休息，以促进身体恢复。