眼睛下面出现红点的原因可能有以下几种：
1.皮肤过敏：如果红点伴有瘙痒、肿胀等症状，可能是皮肤过敏引起的。过敏原可能是食物、药物、化妆品、花粉等。建议避免接触过敏原，口服抗组胺药物（如氯雷他定、西替利嗪等），外用糖皮质激素软膏（如糠酸莫米松乳膏、丁酸氢化可的松乳膏等）。
2.感染：如果红点周围有红肿、疼痛等症状，可能是感染引起的，如麦粒肿、痤疮、毛囊炎等。建议外用抗生素软膏（如红霉素软膏、夫西地酸乳膏等），口服抗生素（如头孢呋辛酯、阿莫西林等）。如果症状严重，需要就医切开排脓。
3.血液系统疾病：如果红点持续不消失，或者出现其他症状，如鼻出血、牙龈出血、皮肤瘀斑等，可能是血液系统疾病引起的，如血小板减少性紫癜、过敏性紫癜、白血病等。建议及时就医，进行血常规、凝血功能、骨髓穿刺等检查，明确诊断，并进行相应的治疗。
4.其他：眼睛下面出现红点还可能是其他原因引起的，如肝病、肾病、心血管疾病等。建议及时就医，进行全面的身体检查，以排除其他潜在的疾病。
总之，眼睛下面出现红点的原因很多，如果症状持续不消失或者加重，建议及时就医，明确诊断，并进行相应的治疗。