当半岁宝宝半夜发烧37.5°C时，可以采取以下措施：
1.观察宝宝的情况：宝宝发烧可能是身体对感染的正常反应，但也可能是其他问题的信号。注意观察宝宝的精神状态、呼吸、咳嗽等症状，以及是否有其他异常表现。
2.保持宝宝舒适：给宝宝穿着适当的衣物，不要过多或过少。保持房间温度适宜，避免过热或过冷。可以使用温水擦拭宝宝的额头、颈部、腋窝和腹股沟等部位，帮助散热。
3.适当补充水分：发烧会导致宝宝体内水分流失，因此要确保宝宝摄入足够的水分。可以给宝宝喂适量的母乳、配方奶或白开水。
4.注意宝宝的饮食：如果宝宝食欲正常，可以继续给予适量的母乳或配方奶。如果宝宝食欲不振，可以尝试多次少量喂食，避免过度喂养。
5.避免捂热：不要给宝宝穿过多的衣物或盖过厚的被子，以免影响散热。
6.勤测体温：定期测量宝宝的体温，了解体温变化情况。如果体温持续升高或宝宝出现不适症状，应及时就医。
7.不建议自行使用退烧药：对于6个月以下的宝宝，一般不建议自行使用退烧药。如果宝宝体温超过38.5°C或出现明显不适，应及时就医，在医生的指导下使用退烧药。
需要注意的是，如果宝宝发烧持续时间较长、体温较高、出现其他严重症状或精神状态不佳，应及时就医，以便明确病因并进行相应的治疗。同时，在疫情期间，如宝宝出现发热症状，应及时就医，并告知医生宝宝的旅行史和接触史。