孩子眼睛周围出现红色斑点，可能是以下原因所致：
一、皮疹：
1.若是因过敏引发的皮疹，通常还会伴有局部瘙痒。这主要与孩子生性活泼好动，经常用手揉眼，进而导致过敏原接触眼部皮肤有关。
2.处理措施上，应注意勤用清水洗脸，保持眼部卫生，严禁揉眼，然后可涂抹糠酸莫米松、卤米松等软膏来进行抗过敏治疗。
二、毛囊炎：
1.当毛囊炎形成红色斑点时，可能与孩子皮脂腺分泌旺盛但洗脸过少有关，会引起眼周皮肤的皮脂腺发生细菌感染。
2.可在使用温毛巾擦洗后，采用甲硝唑凝胶、咪喹莫特乳膏等进行治疗。
三、血友病：
1.因血液系统疾病导致凝血功能障碍，从而引发皮肤出血点。
2.需要通过化验血常规、凝血功能来确诊，确诊后要及时补充凝血因子，还可采用关节置换手术进行治疗。
四、外伤：
1.若眼部遭受外伤后，可能会致使眼睑皮肤出现紫红色血肿，部分患者也可能表现为皮下小出血点。
2.此时可注意补充维生素C或者维生素E等，以改善血管功能，促进病情恢复。
总之，当孩子眼睛周围出现红色斑点时，要仔细分析原因，根据具体情况采取相应的治疗措施。如果不确定原因或症状持续不缓解，应及时就医，以便明确诊断和进行专业治疗。