三个月的宝宝老咳嗽，可能是以下原因引起的：
1.呼吸道感染：三个月的宝宝免疫系统尚未完全发育成熟，容易受到病毒或细菌感染，引起呼吸道炎症，导致咳嗽。常见的呼吸道感染包括感冒、肺炎等。
2.过敏：宝宝可能对空气中的过敏原（如花粉、尘螨、宠物毛发等）过敏，引发咳嗽。过敏反应还可能伴有打喷嚏、流鼻涕等症状。
3.胃食管反流：宝宝的胃容量较小，且胃食管括约肌发育不完善，容易发生胃食管反流，胃酸反流刺激喉部可引起咳嗽。
4.气道异物：宝宝可能有误吸异物的风险，如食物、玩具小零件等，导致气道堵塞或刺激，引起咳嗽。
5.环境因素：干燥的空气、烟雾、化学物质等环境因素可能刺激宝宝的呼吸道，引起咳嗽。
6.其他原因：百日咳、肺结核、先天性心脏病等也可能导致宝宝长期咳嗽。
如果宝宝咳嗽持续时间较长、频繁或伴有其他症状（如呼吸急促、喘息、发热等），建议及时就医，进行详细的检查和诊断。医生可能会根据具体情况采取相应的治疗措施，如药物治疗、雾化治疗等。同时，家长可以采取以下措施来缓解宝宝的咳嗽：
1.保持宝宝的呼吸道湿润，可使用加湿器增加空气湿度。
2.给宝宝适量的水分，有助于稀释痰液。
3.避免宝宝接触过敏原。
4.及时清理宝宝的鼻腔分泌物，保持呼吸通畅。
5.保持宝宝的良好体位，如侧卧或抱起，有助于减轻咳嗽。
需要注意的是，不要自行给宝宝使用止咳药物，尤其是含有可待因、麻黄碱等成分的药物，因为这些药物可能对宝宝的健康造成不良影响。在给宝宝使用任何药物之前，最好先咨询医生的建议。此外，如果宝宝的咳嗽症状加重或持续不缓解，应及时就医复诊。