眼睛周围出现红点，通常可能是以下原因导致。
一、紫癜：
紫癜指的是由于血管内压增高使得微血管破裂，从而引起皮下出血的情况。剧烈咳嗽、呕吐、便秘等因素都容易诱发紫癜。其主要表现为针尖大小且群聚或散在的瘀点或瘀斑，所以眼睛周围出现红点可能是紫癜造成的。
二、血管瘤：
血管瘤属于临床上常见的血管肿瘤性疾病，多数和胚胎发育时期血管异常增生有关。主要体现为皮肤颜色、形态的改变以及皮肤隆起等，这也可能致使眼睛周围出现红点。
三、过敏：
过敏是指人体接触特定物质后发生的过度免疫反应。当人体皮肤接触过敏原时，可能引发过敏反应，一般会表现为皮肤红肿、丘疹、瘙痒等症状，进而可能会让眼睛周围出现红点。
总之，眼睛周围出现红点可能是多种原因引起的，当出现这种情况时，应注意观察并结合自身具体情况，必要时寻求专业医生的帮助，以明确原因并采取相应的措施。