一岁小孩吞枣核后，可采取以下措施：
1.观察小孩的症状：如果小孩在吞咽枣核后没有出现明显的不适症状，如呼吸困难、咳嗽、呕吐等，家长可以先观察一段时间，注意观察小孩的呼吸、面色等情况。
2.给小孩多喝水：让小孩多喝水可以帮助枣核顺利排出体外。
3.给小孩吃一些富含膳食纤维的食物：如蔬菜、水果等，可以促进肠道蠕动，帮助枣核排出体外。
4.及时就医：如果小孩在吞咽枣核后出现了明显的不适症状，如呼吸困难、咳嗽、呕吐等，家长应该及时带小孩去医院就诊，医生会根据具体情况采取相应的治疗措施。
需要注意的是，在日常生活中，家长应该注意将食物切成小块，避免小孩误食。同时，要教育小孩不要将小物品放入口中，以免发生意外。