六个月宝宝发烧37.8°C时，可以采取以下措施：
1.观察宝宝的状态：如果宝宝精神状态良好，能吃能玩，没有其他异常表现，可以先在家观察，注意保持宝宝的水分摄入，多喂奶或喂水。
2.减少衣物：不要给宝宝穿过多的衣物，以免影响散热。可以适当减少衣物，让宝宝感到舒适。
3.物理降温：可以用温水擦拭宝宝的手心、脚心、腋窝、腹股沟等部位，或者使用退热贴。但要注意，不要用酒精擦拭宝宝，以免引起过敏或中毒。
4.保持室内通风：保持室内空气流通，温度适宜，但要避免让宝宝直接吹风。
5.及时就医：如果宝宝的体温持续升高，或者出现其他异常症状，如咳嗽、呕吐、腹泻、呼吸急促等，应及时就医。在就医过程中，要如实告知医生宝宝的症状和病史，以便医生进行准确的诊断和治疗。
需要注意的是，宝宝的体温调节功能尚未完全发育成熟，容易受到外界环境的影响。因此，在日常生活中，要注意保持宝宝的环境温度适宜，避免宝宝过度受热或受寒。同时，要注意宝宝的个人卫生，勤洗手，避免交叉感染。