五个月宝宝发烧37.8°C，可采取以下措施。
1.观察宝宝状态：宝宝发烧时，需要密切观察其状态。如果宝宝精神状态良好，能吃能玩，没有其他异常表现，可以先在家观察，采取物理降温的方法。
2.物理降温：用温水擦拭宝宝的额头、颈部、腋窝、肘窝、腹股沟等部位，或使用退热贴。注意保持宝宝皮肤清洁，避免着凉。
3.补充水分：发烧会导致宝宝体内水分流失，要及时给宝宝补充水分，可以喂适量的温水或母乳。
4.松解衣物：不要给宝宝穿过多的衣物，以免影响散热。
5.保持室内通风：保持室内空气流通，但避免直接对着宝宝吹风。
6.及时就医：如果宝宝发烧持续时间较长（超过3天）、体温升高（超过38.5°C）、出现其他异常症状（如咳嗽、呕吐、腹泻、呼吸急促等），应及时就医，以便明确病因并进行治疗。
需要注意的是，以上措施仅适用于一般情况。如果宝宝发烧持续不退或出现其他严重症状，应及时就医，在医生的指导下进行治疗。同时，家长应注意保持宝宝的清洁卫生，避免带宝宝去人员密集的场所，以减少感染的机会。