5个月宝宝发烧37.8°C，可采取以下护理方法：
1.观察宝宝状态：宝宝发烧时，需要密切观察其状态，包括精神状态、呼吸、饮食等情况。如果宝宝状态良好，可以在家中进行护理；如果宝宝出现精神萎靡、呼吸急促、食欲不振等症状，应及时就医。
2.保持适宜的环境温度：宝宝发烧时，需要保持适宜的环境温度，一般为24℃-26℃。可以适当减少宝宝的衣物，保持室内通风，但要避免宝宝直接吹风。
3.多喝水：宝宝发烧时，身体会流失大量水分，需要多喝水以补充水分。可以给宝宝喝适量的温水或母乳，也可以使用奶瓶或小勺喂水。
4.物理降温：如果宝宝体温在38.5℃以下，可以采用物理降温的方法，如温水擦浴、贴退热贴等。但需要注意，不要使用酒精擦浴，以免引起过敏或中毒。
5.药物治疗：如果宝宝体温超过38.5℃，或出现精神萎靡、呼吸急促等症状，需要及时就医。医生会根据宝宝的具体情况，给予适当的药物治疗，如退烧药、抗生素等。
需要注意的是，以上方法仅供参考，如果宝宝发烧持续时间较长或症状加重，应及时就医。同时，在宝宝发烧期间，家长应注意保持宝宝的个人卫生，勤洗手，避免交叉感染。