5个月大宝宝发烧至37.8°C时，家长可以采取以下措施：
1.观察宝宝的状态：宝宝发烧时，可能会出现哭闹、烦躁、食欲不振等症状。家长可以观察宝宝的精神状态、呼吸频率、皮肤颜色等，判断宝宝的情况是否严重。
2.给宝宝适当散热：不要给宝宝穿过多的衣服或盖太厚的被子，以免影响散热。可以让宝宝穿着轻薄透气的衣物，保持室内空气流通。
3.给宝宝多喝水：发烧会导致宝宝体内水分流失，因此要及时给宝宝补充水分。可以让宝宝喝适量的温水或母乳，也可以使用奶瓶或小勺喂食。
4.温水擦拭：用温水擦拭宝宝的额头、颈部、腋窝、手心、脚心等部位，帮助宝宝散热。但要注意水温不宜过高，以免烫伤宝宝。
5.物理降温：如果宝宝的体温没有超过38.5°C，可以使用物理降温的方法，如使用退热贴、温水浴等。但要注意不要给宝宝使用酒精擦拭身体，以免引起酒精中毒。
6.及时就医：如果宝宝的体温持续升高或出现其他异常症状，如呼吸急促、咳嗽、呕吐、腹泻等，应及时就医。在就医过程中，要如实告知医生宝宝的症状和病史，以便医生进行准确的诊断和治疗。
需要注意的是，以上措施仅适用于5个月大的宝宝发烧至37.8°C的情况。如果宝宝的体温超过38.5°C，或出现其他严重症状，应及时就医，并按照医生的建议进行治疗。同时，家长在照顾宝宝时要注意保持宝宝的清洁卫生，避免交叉感染。