5个月大的宝宝发烧37.8°C，可采取以下措施：
1.观察宝宝状态：宝宝发烧时，需要密切观察其状态。如果宝宝精神状态良好，能吃能玩，可先在家观察，采取物理降温的方法，如减少衣物、降低环境温度、多喝水等。
2.物理降温：用温水擦拭宝宝的额头、颈部、腋窝、腹股沟等部位，或使用退热贴。但需注意，不要用酒精擦拭宝宝，以免引起酒精中毒。
3.保持水分摄入：发烧会导致宝宝体内水分流失，因此要保持宝宝充足的水分摄入，可以多喝水或母乳。
4.测量体温：每4-6小时测量一次体温，密切关注体温变化。
5.就医：如果宝宝体温持续升高或出现其他异常症状，如呼吸急促、咳嗽、呕吐、腹泻等，应及时就医。在就医过程中，应告知医生宝宝的详细情况，包括体温、症状、用药情况等。
6.避免捂汗：不要给宝宝穿过多的衣物或盖太厚的被子，以免影响散热。
7.注意环境通风：保持室内空气流通，有利于降低室内温度。
需要注意的是，以上措施仅适用于5个月大的宝宝发烧37.8°C的情况。如果宝宝发烧持续时间较长或体温较高，或出现其他异常症状，应及时就医，以便明确病因并进行针对性治疗。同时，在宝宝发烧期间，要注意保持宝宝的饮食清淡，避免食用过于油腻或刺激性的食物。