五个半月宝宝发烧37度，可能是正常的生理现象，也可能是疾病引起的。以下是一些建议：
1.观察宝宝的情况：如果宝宝除了发烧外，没有其他异常症状，精神状态良好，吃奶正常，可以先观察一段时间，每2-3小时测量一次体温。
2.给宝宝多喝水：发烧会导致宝宝体内水分流失，多喝水可以帮助补充水分，防止脱水。
3.保持宝宝的舒适：给宝宝穿宽松、透气的衣服，保持室内空气流通，温度适宜。
4.物理降温：如果宝宝体温没有超过38.5度，可以采用物理降温的方法，如温水擦浴、冷敷等。
5.及时就医：如果宝宝体温持续升高，或出现其他异常症状，如咳嗽、呕吐、腹泻等，应及时就医，以便明确病因，进行针对性治疗。
需要注意的是，宝宝的正常体温范围因人而异，一般在36.5-37.5度之间。如果宝宝的体温超过37.5度，应及时就医，以便明确病因，进行针对性治疗。同时，在就医过程中，应如实告知医生宝宝的症状和病史，以便医生做出正确的诊断和治疗。
此外，对于五个半月的宝宝，由于其免疫系统尚未完全发育成熟，容易受到感染和疾病的侵袭。因此，在日常生活中，应注意保持宝宝的清洁卫生，勤洗手，避免带宝宝去人员密集的场所，注意室内通风等。同时，应按时给宝宝进行预防接种，以提高宝宝的免疫力。