当婴儿发烧至37.7°C时，可以采取以下处理方法：
1.观察和监测：首先，需要密切观察婴儿的情况，包括精神状态、食欲、呼吸等。同时，使用体温计测量体温，每4-6小时测量一次，记录体温变化。
2.保持适宜的环境：确保婴儿所处的环境温度适宜，不要过热或过冷。可以适当减少衣物，保持舒适。
3.多喝水：鼓励婴儿多喝水，以补充因发烧而流失的水分。水有助于调节体温和维持身体正常功能。
4.物理降温：可以采用物理降温方法，如温水擦拭身体、使用退热贴等。但需注意，不要使用酒精擦拭，以免引起过敏或中毒。
5.就医咨询：如果婴儿的体温持续升高或出现其他异常症状，如呼吸急促、咳嗽、哭闹不止等，应及时就医。医生会根据具体情况进行评估，并给予相应的治疗建议。
需要注意的是，对于3个月以下的婴儿，发烧可能是严重疾病的信号，即使体温较低，也应及时就医。此外，在处理婴儿发烧时，应遵循医生的建议，不要自行使用药物。同时，要保持与医生的沟通，及时了解婴儿的病情进展。
对于特殊人群，如早产儿、免疫功能低下的婴儿或存在基础疾病的婴儿，发烧处理需要更加谨慎。在这种情况下，应尽快咨询医生，遵循医生的具体指导进行护理和治疗。
总之，对于婴儿发烧37.7°C，应密切观察并采取适当的措施。如果情况持续恶化或有任何疑虑，及时就医是至关重要的，以确保婴儿的健康和安全。