五个月大的宝宝咳嗽，可能是正常的生理现象，也可能是疾病引起的。如果咳嗽不严重，可以先观察；如果咳嗽严重或持续时间较长，需要及时就医。以下是一些处理建议：
1.观察咳嗽的频率、强度、性质（干咳或有痰）、持续时间、是否伴有其他症状（如发热、喘息、呼吸急促等）。
2.保持室内空气湿润，可以使用加湿器。
3.给宝宝适量喂水，有助于缓解咳嗽。
4.避免宝宝接触过敏原，如花粉、宠物毛发等。
5.不要给宝宝滥用止咳药，尤其是含有可待因、麻黄碱等成分的药物，因为这些药物可能会对宝宝的身体造成不良影响。
如果宝宝咳嗽严重，或伴有以下症状，需要及时就医：
1.咳嗽伴有呼吸急促、喘息、呼吸困难等症状。
2.咳嗽持续时间较长，超过1周。
3.咳嗽伴有发热、体温超过38.5°C。
4.咳嗽伴有精神萎靡、食欲不振、哭闹不止等症状。
就医后，医生会根据宝宝的具体情况进行诊断和治疗。可能会进行以下检查和治疗：
1.体格检查：医生会检查宝宝的呼吸、心率、肺部听诊等，以了解宝宝的健康状况。
2.实验室检查：如血常规、C反应蛋白等，以帮助医生判断是否有感染。
3.影像学检查：如X线、CT等，以了解肺部的情况。
4.治疗：根据宝宝的病情，医生可能会给予抗生素、止咳药、祛痰药等治疗。如果宝宝有呼吸困难，可能需要进行吸氧或机械通气等治疗。
需要注意的是，宝宝的咳嗽可能是由多种原因引起的，如感染、过敏、气道异物等。因此，在治疗宝宝咳嗽的同时，需要寻找病因，并采取相应的治疗措施。此外，在给宝宝使用药物时，需要严格按照医生的建议使用，避免药物滥用。