宝宝手被蚊子叮咬后手背肿胀，家长可以采取以下措施：
1.清洗伤口：用肥皂水或清水清洗宝宝的伤口，以去除蚊子叮咬部位的毒液。
2.冷敷：用冰袋或冷毛巾敷在宝宝的伤口上，每次15-20分钟，每天数次，可以缓解肿胀和疼痛。
3.涂抹药膏：可以在宝宝的伤口上涂抹一些含有止痒成分的药膏，如炉甘石洗剂、薄荷膏等。
4.避免搔抓：告诉宝宝不要搔抓伤口，以免引起感染。
5.观察症状：如果宝宝的症状持续加重，如出现发热、疼痛加剧、肿胀范围扩大等，应及时就医。
需要注意的是，宝宝的皮肤娇嫩，容易受到刺激和感染。在处理宝宝的伤口时，家长应注意保持伤口清洁，避免感染。同时，如果宝宝是过敏体质，应避免使用含有刺激性成分的药膏，以免引起过敏反应。