眼睛周围出现红点，通常可能是由紫癜、血管瘤、过敏等原因导致。
一、紫癜：紫癜指的是由于血管内压增高使得微血管破裂，从而引起皮下出血的情况。一些因素如剧烈咳嗽、呕吐、便秘等容易诱发紫癜。其主要表现为针尖大小的、群聚或散在的瘀点或瘀斑，所以眼睛周围出现红点有可能是紫癜引起的。
二、血管瘤：这是临床上较为常见的血管肿瘤性疾病，多与胚胎发育时期血管异常增生有关。主要表现包括皮肤颜色和形态的改变以及皮肤隆起等，这也可能致使眼睛周围出现红点。
三、过敏：过敏指的是人体在接触某些物质后发生的过度免疫反应。当人体皮肤接触到过敏原时，可能引发过敏反应，一般会有皮肤红肿、丘疹、瘙痒等表现，进而可能导致眼睛周围出现红点。
总之，当发现眼睛周围出现红点时，需要结合自身具体情况来判断可能的原因，必要时应及时就医进行明确诊断和相应治疗。