孩子退烧后咳嗽厉害，可能是由以下原因引起的：
1.感染后咳嗽：呼吸道感染本身急性期症状消失后，咳嗽仍然迁延不愈，多为刺激性干咳或咳少量白色黏液痰，通常持续3～8周，胸部X线片检查无异常。感染后咳嗽的孩子，在呼吸道感染控制后，咳嗽症状往往会逐渐减轻或消失，而部分孩子会迁延不愈，咳嗽持续时间可长达数周甚至数月。
2.咳嗽变异性哮喘：咳嗽变异性哮喘是一种特殊类型的哮喘，以咳嗽为唯一或主要表现，多发生于夜间或凌晨，运动、冷空气等可诱发咳嗽，气道反应性检测阳性。治疗上主要采用支气管舒张剂和糖皮质激素吸入治疗。
3.上气道咳嗽综合征：除了咳嗽外，孩子可能还会伴有鼻塞、流涕、打喷嚏、打鼾等症状，多由鼻炎、鼻窦炎、腺样体肥大等上气道疾病引起。治疗上主要针对病因治疗，如治疗鼻炎、鼻窦炎、腺样体肥大等。
4.胃食管反流：孩子平卧或睡眠时，胃酸反流刺激咽喉部可引起咳嗽，多伴有烧心、反酸、嗳气等症状。治疗上主要采用促胃肠动力药和抑酸药。
5.其他：心因性咳嗽、异物吸入、支气管异物、肺结核等也可引起孩子咳嗽。
针对孩子退烧后咳嗽厉害的情况，可采取以下措施：
1.多喝温水：有助于缓解咳嗽，保持呼吸道湿润。
2.拍背：帮助孩子排痰，可在孩子咳嗽时，将其竖着抱起，空心掌由下往上轻拍背部。
3.调整饮食：饮食以清淡、易消化为主，避免食用辛辣、油腻、刺激性食物。
4.保持室内空气流通：避免烟雾、粉尘等刺激。
5.观察孩子的精神状态、呼吸情况等：如果孩子咳嗽剧烈、精神状态差、呼吸急促等，应及时就医。
需要注意的是，如果孩子咳嗽持续时间较长或伴有其他症状，如喘息、呼吸困难、发热等，应及时就医，明确病因，在医生的指导下进行治疗。