当遇到半夜发烧39°C的情况，需要采取以下紧急处理措施：
1.测量体温：使用体温计测量体温，确保准确了解发热程度。
2.补充水分：发烧会导致身体水分流失，应多喝水或饮用适量的果汁、盐水等，以补充水分。
3.松解衣物：确保患者穿着宽松、舒适的衣物，避免过多衣物影响散热。
4.物理降温：可以采用温水擦拭身体、使用冰袋等方法进行物理降温，但要注意避免冷敷在胸口、腹部和足底等部位。
5.服用退烧药：根据医生建议，按照剂量给患者服用退烧药，但不要同时使用多种退烧药。
6.观察病情：密切观察患者的病情变化，包括体温、呼吸、脉搏等，如有异常应及时就医。
7.就医诊治：如果发烧持续不退、症状加重或出现其他不适，应立即就医，以便进行进一步的诊断和治疗。
需要注意的是，对于特殊人群，如孕妇、儿童、老人或患有基础疾病的人群，处理方法可能会有所不同。在这种情况下，最好在采取措施之前咨询医生的建议。此外，发烧可能是某种疾病的症状，因此在处理发烧的同时，也应该关注病因的治疗。