小孩反复发烧且手脚冰凉，可能由以下原因引起：
1.感染：这是小孩发烧最常见的原因，如病毒、细菌、支原体等感染都可能导致发烧。手脚冰凉是因为体温上升期，四肢小血管处于痉挛性收缩状态，导致手脚冰凉。此时，家长可以给孩子多喝温水，促进血液循环，帮助身体散热。同时，注意保持孩子手脚的温暖，可以用热水袋或温水泡脚，但要注意防止烫伤。如果孩子体温超过38.5℃，可以给孩子服用退烧药，如布洛芬或对乙酰氨基酚。
2.免疫系统问题：小孩的免疫系统尚未完全发育成熟，容易出现免疫反应异常，导致发烧。一些自身免疫性疾病，如幼年特发性关节炎、系统性红斑狼疮等，也可能引起反复发烧。如果孩子有其他症状，如皮疹、关节疼痛、口腔溃疡等，应及时就医，进行相关检查，以明确诊断。
3.血液系统疾病：某些血液系统疾病，如白血病、再生障碍性贫血等，也可能导致反复发烧。这些疾病还可能伴有其他症状，如贫血、出血、淋巴结肿大等。如果孩子有这些症状，应及时就医，进行血常规、骨髓穿刺等检查，以明确诊断。
4.其他原因：除了上述原因外，一些其他因素也可能导致小孩反复发烧，如恶性肿瘤、药物过敏、中枢神经系统感染等。这些情况相对较为少见，但也需要引起重视。
总之，小孩反复发烧且手脚冰凉，家长应密切观察孩子的病情变化，及时就医，进行相关检查，以明确诊断，并在医生的指导下进行治疗。同时，要注意给孩子多喝水，保持室内空气流通，饮食清淡易消化。