一岁宝宝发烧37.8度，可采取以下措施。
1.观察：密切观察宝宝的体温变化，每4-6小时测量一次，并记录下来。同时，注意观察宝宝的精神状态、食欲、睡眠等情况，以及是否有其他异常症状，如咳嗽、流鼻涕、腹泻等。
2.物理降温：用温水擦拭宝宝的额头、颈部、腋窝、肘窝、腹股沟等部位，帮助宝宝散热。但要注意，不要给宝宝用酒精擦浴，因为宝宝的皮肤娇嫩，酒精可能会通过皮肤吸收，引起中毒。
3.适当减少衣物：不要给宝宝穿过多的衣物或盖过厚的被子，以免影响散热。可以根据室内温度，给宝宝穿着适当的衣物，保持舒适即可。
4.多喝水：让宝宝多喝水，有助于补充水分，防止脱水。可以给宝宝喝一些温开水、果汁、米汤等。
5.保持室内通风：保持室内空气流通，温度适宜，避免直接吹风。
6.就医：如果宝宝的体温持续升高，或出现精神萎靡、食欲减退、呼吸急促等异常症状，应及时就医。在就医过程中，应尽量避免带宝宝去人员密集的场所，以免交叉感染。医生一般会根据宝宝的具体情况，进行相关检查，如血常规、C反应蛋白等，以明确病因，并给予相应的治疗。
需要注意的是，一岁以下的宝宝免疫系统尚未完全发育成熟，容易受到感染，因此在处理宝宝发烧时，应密切观察宝宝的病情变化，如果症状持续加重或出现其他异常情况，应及时就医。同时，不要自行给宝宝使用退烧药，应在医生的指导下使用。