宝宝发烧38.7度睡着了，家长可以采取以下措施。
1.观察宝宝的情况：首先，家长需要保持冷静，密切观察宝宝的状态。注意宝宝是否有呼吸急促、咳嗽、哭闹不止等异常情况。如果宝宝出现这些症状，或者精神状态不佳，应立即就医。
2.降低环境温度：适当降低室内温度，可以打开空调或风扇，使室内温度保持在25-27摄氏度左右。但要注意避免让宝宝直接吹风，以免加重病情。
3.松解宝宝衣物：如果宝宝穿着过多的衣物，应适当松解，以帮助散热。但要注意保持宝宝的腹部保暖。
4.给予物理降温：可以用温水擦拭宝宝的额头、颈部、腋窝、肘窝、腹股沟等部位，帮助宝宝降温。但要注意避免擦拭前胸、脚心等部位。
5.多喝水：发烧会导致宝宝体内水分流失，家长应鼓励宝宝多喝水，以补充水分，防止脱水。
6.服用退烧药：如果宝宝的体温持续不降或升高，超过38.5摄氏度，家长可以在医生的指导下给宝宝服用退烧药，如布洛芬或对乙酰氨基酚。但要注意按照说明书的剂量使用，不要超量服用。
7.及时就医：如果宝宝的症状持续不缓解或出现高热惊厥等严重情况，应立即就医，以便及时诊断和治疗。
需要注意的是，以上措施仅适用于一般情况。如果宝宝的年龄较小、有基础疾病、免疫功能低下或出现其他异常情况，应及时就医，在医生的指导下进行治疗。同时，家长应密切关注宝宝的病情变化，如有需要，及时就医。