孩子发烧后眼睛周围出现红点，可能是以下原因引起：
1.感染：发烧可能是感染的症状之一，如病毒、细菌或其他病原体感染。感染可以导致皮肤和黏膜的炎症反应，从而出现红点。一些常见的感染性疾病，如麻疹、风疹、猩红热等，可能会在发烧的同时伴有眼部症状和皮肤红点。
2.过敏：孩子对某些物质过敏，如食物、药物、花粉等，也可能导致眼睛周围出现红点。过敏反应可以引起皮肤血管扩张和渗透性增加，导致红点的出现。
3.川崎病：这是一种以全身性血管炎为主要病变的急性发热出疹性小儿疾病。如果孩子发烧持续5天以上，伴有眼睛发红、口唇干红皲裂、草莓舌、手足硬性水肿、颈部淋巴结肿大等症状，需要警惕川崎病的可能。
4.其他原因：一些其他疾病，如血小板减少性紫癜、系统性红斑狼疮等，也可能导致孩子发烧并出现皮肤红点。
针对孩子发烧眼睛周围有红点的情况，可以采取以下措施：
1.测量体温：密切监测孩子的体温，确保孩子的体温得到控制。如果体温较高，可以使用退烧药，如对乙酰氨基酚或布洛芬，按照医生的建议使用药物。
2.保持皮肤清洁：保持孩子的皮肤清洁，避免搔抓红点，以免引起感染。可以使用温水轻轻擦拭皮肤，但避免使用刺激性的清洁剂或化妆品。
3.观察症状：密切观察孩子的其他症状，如咳嗽、流鼻涕、腹泻、呕吐等。注意孩子的精神状态、食欲和睡眠情况。如果症状加重或出现其他异常，应及时就医。
4.就医咨询：如果孩子的红点持续不消失、症状加重或伴有其他严重症状，如呼吸急促、心跳加快、皮疹扩散等，应及时就医。医生会根据孩子的具体情况进行详细的体格检查、实验室检查等，以确定病因并给予相应的治疗。
在孩子发烧期间，家长应注意以下几点：
1.给孩子提供充足的水分，以保持身体水分平衡。
2.保持孩子的饮食清淡、易消化，避免食用辛辣、油腻或刺激性食物。
3.给孩子创造舒适的休息环境，保持室内空气流通。
4.避免带孩子去人员密集的场所，以减少感染的机会。
5.按照医生的建议进行治疗和护理，不要自行给孩子使用药物。
需要注意的是，每个孩子的情况可能不同，因此最好在医生的指导下进行诊断和治疗。医生会根据孩子的具体情况制定个性化的治疗方案。