四个月大的宝宝持续低烧（37.5°C），可能由以下原因引起：
1.穿盖过多：如果宝宝穿盖过多，会导致体温升高。家长可以适当减少宝宝的衣物和被褥，以帮助降低体温。
2.环境因素：如果宝宝所处的环境温度过高或过低，也可能影响体温。家长可以调整室内温度，保持在适宜的范围内。
3.感染：感染是导致宝宝低烧的常见原因，如感冒、喉咙炎、肺炎等。如果宝宝还伴有其他症状，如咳嗽、流鼻涕、腹泻等，应及时就医。
4.疫苗接种：宝宝接种疫苗后，可能会出现低烧等不良反应。这种情况通常会在接种后1-2天内自行缓解，家长可以观察宝宝的情况，多喝水，注意休息。
5.其他：宝宝长牙、情绪激动等也可能导致体温短暂升高。
如果宝宝持续低烧，家长可以采取以下措施：
1.观察宝宝的精神状态和食欲，如果宝宝精神状态良好，食欲正常，可以先在家观察。
2.给宝宝多喝水，以补充水分，防止脱水。
3.用温水擦拭宝宝的额头、颈部、腋窝等部位，帮助降低体温。
4.保持宝宝的皮肤清洁，勤换衣物和尿布。
5.如果宝宝的体温持续升高或出现其他异常症状，应及时就医，以便明确病因，并进行相应的治疗。
需要注意的是，宝宝的体温调节功能尚未完全发育成熟，体温容易受到外界因素的影响。家长应该密切关注宝宝的体温变化，如有异常应及时就医。同时，在就医过程中，应如实告知医生宝宝的症状和病史，以便医生做出准确的诊断和治疗。