5个多月的宝宝发烧37.8°C，家长可以采取以下措施：
1.观察宝宝的状态：宝宝发烧时，需要密切观察其状态。如果宝宝精神状态良好，能吃能玩，没有其他异常表现，可以先在家观察，采取物理降温的方法。
2.物理降温：可以用温水擦拭宝宝的额头、颈部、腋窝、腹股沟等部位，或者给宝宝洗温水澡。但要注意，不要给宝宝穿太多衣服，以免影响散热。
3.补充水分：发烧会导致宝宝体内水分流失，因此要及时给宝宝补充水分，可以喂母乳或配方奶，也可以喂适量的白开水。
4.保持室内通风：保持室内空气流通，温度适宜，避免给宝宝穿太多衣服或盖太厚的被子。
5.及时就医：如果宝宝发烧持续不退，或者出现其他异常表现，如精神萎靡、呼吸急促、咳嗽等，应及时就医。医生会根据宝宝的具体情况，进行进一步的检查和治疗。
需要注意的是，宝宝的体温调节功能尚未发育完善，容易受到外界环境的影响，因此在测量体温时，要选择合适的测量方法和时间，并注意保持测量环境的稳定。同时，如果宝宝有其他疾病或正在服用药物，应及时告知医生。