5个月宝宝发烧37.8°C，可能由以下原因引起：
1.感染：宝宝可能感染了病毒、细菌或其他病原体，如感冒、喉咙炎、肺炎等。
2.接种疫苗：宝宝近期接种了疫苗，可能会出现低烧反应。
3.环境因素：宝宝所处的环境温度过高、包裹过严或通风不良，也可能导致体温升高。
4.其他原因：宝宝出牙、剧烈运动后，体温也可能暂时升高。
针对宝宝发烧37.8°C的情况，可以采取以下处理方法：
1.观察宝宝的精神状态和一般情况，如是否哭闹、嗜睡、呼吸急促等。
2.给宝宝适当减少衣物，保持舒适的环境温度。
3.多喂水，以补充因发热导致的水分流失。
4.可以使用温水擦拭宝宝的颈部、腋窝、肘窝、腹股沟等部位，帮助散热。
需要注意的是，如果宝宝的体温持续升高或出现其他异常症状，如精神萎靡、呼吸急促、咳嗽加剧等，应及时就医。以下是一些建议：
1.及时就医：如果宝宝发烧超过38.5°C，或出现上述异常症状，应尽快带宝宝去医院就诊。医生会进行详细的检查和诊断，并根据情况给予相应的治疗。
2.避免自行用药：不要自行给宝宝使用退烧药或抗生素，以免影响医生的诊断和治疗。
3.告知医生详细情况：在就医时，应告知医生宝宝的年龄、症状出现的时间、体温变化等情况，以便医生做出准确的诊断和治疗。
对于5个月大的宝宝，发烧可能是一种常见的现象，但也需要引起重视。如果对宝宝的发烧情况有任何疑虑或担忧，最好咨询医生的意见。同时，要密切观察宝宝的情况，如有需要，及时就医。