五个月宝宝发烧37.8度，可采取以下措施：
1.观察宝宝状态：宝宝发烧时，需要密切观察其状态，包括精神状态、饮食情况、睡眠质量等。如果宝宝状态良好，可以先在家中进行观察和护理。
2.保持适宜环境：给宝宝创造一个适宜的环境，保持室内空气流通，温度适宜。可以适当减少宝宝的衣物，以帮助散热。
3.多喝水：让宝宝多喝水，以补充因发烧而流失的水分。可以选择白开水、母乳或配方奶。
4.物理降温：可以采用物理降温的方法，如温水擦拭、温水浴等。但需要注意，不要使用酒精擦拭宝宝，以免引起过敏或中毒。
5.退烧药：如果宝宝的体温超过38.5度，可以在医生的指导下使用退烧药，如布洛芬或对乙酰氨基酚。但需要注意药物的使用剂量和使用时间。
6.就医：如果宝宝的体温持续升高或出现其他异常症状，如呼吸急促、咳嗽、呕吐等，应及时就医，以便明确病因并进行治疗。
需要注意的是，以上措施仅适用于一般情况。如果宝宝的情况较为严重或持续时间较长，建议及时就医，以便获得更专业的治疗。同时，在宝宝发烧期间，应注意保持宝宝的饮食清淡，避免食用过于油腻或刺激性的食物。