小孩五个月发烧37.8°C可采取以下家庭护理措施，但具体情况需根据小孩的精神状态和其他症状来决定是否需要去医院：
1.减少衣物：小孩发烧时，穿着过多的衣物可能会影响身体散热，导致体温进一步升高。因此，可以适当减少小孩的衣物，以帮助散热。
2.物理降温：用温水擦拭小孩的手心、脚心、腋窝、腹股沟等部位，或使用退热贴等物理方法来降温。但需注意，不要使用酒精擦拭小孩的身体，以免引起酒精中毒。
3.多喝水：发烧会导致小孩体内水分流失，因此要及时给小孩补充水分，多喝水或母乳，以防止脱水。
4.保持室内通风：保持室内空气流通，可降低室内温度，有助于小孩散热。
5.密切观察：密切观察小孩的精神状态、体温变化、呼吸情况等，如有异常应及时就医。
需要注意的是，如果小孩发烧持续时间较长（超过3天）、体温较高（超过38.5°C）、出现咳嗽、呕吐、腹泻等症状，或精神状态不佳，应及时就医，以便明确病因，并进行针对性治疗。此外，在就医过程中，应避免带小孩去人员密集的场所，以防交叉感染。