5个月的宝宝发热37.8°C，可采取以下措施：
1.观察宝宝的精神状态和一般情况：如果宝宝精神状态良好，能吃能玩，没有其他异常表现，可以先在家观察，采取一些物理降温的方法，如松解衣物、温水擦拭手心、腋窝、腹股沟等部位。
2.保持室内空气流通：适当调节室内温度和湿度，避免宝宝过热或过冷。
3.适当增加水分摄入：鼓励宝宝多喝水，有助于调节体温和促进身体代谢。
4.注意测量体温：密切监测宝宝的体温变化，每2-4小时测量一次，尤其是在发热时。
5.避免捂热：不要给宝宝穿过多的衣物或包裹过严，以免影响散热。
6.若宝宝出现以下情况，需及时就医：
体温持续升高或超过38.5°C。
出现咳嗽、呼吸急促、喘息等呼吸道症状。
出现呕吐、腹泻、皮疹等其他异常症状。
宝宝精神状态差，哭闹不止，不吃奶或喝水。
宝宝年龄较小，尤其是3个月以下的婴儿。
需要注意的是，以上建议仅供参考。如果对宝宝的发热情况感到担忧或不确定，最好咨询医生的意见。医生会根据宝宝的具体情况进行评估，并给予更专业的建议和治疗。同时，要密切观察宝宝的病情变化，如有异常及时就医。